Как решать задачу при помощи тригонометрии
Многие из тех, кто увлекается математикой, интересуются, можно ли выработать достаточно краткий и четкий набор приемов, облегчающих решение математических задач! Этому вопросу посвящено немало исследований, об интересных результатах которых рассказано в статье. Ее автор в течение многих лет преподает математику в Московском физико-техническом институте.
Студенты, у которых я буду вести практические занятия по математике, сегодня собрались в аудитории на первый семинар.
Сегодня для них начинается новый жизненный этап, значительный, волнующий — на нем они мечтают обрести смысл всей дальнейшей жизни. Каждый из них мечтает о великих открытиях, и я своим первым словом должен описать тот нелегкий путь, который ведет к желанной цели.
Обратимся к тригонометрическим задачам и возьмем для примера такую: пусть а, b, y — углы неостроугольного треугольника; доказать, что
И здесь удачные преобразования намечают простой путь к доказательству предложенной формулы: он откроется, если первое слагаемое в левой части неравенства заменить разностью
а каждое из последних — дробью вида
И это лишь две возможные формы синуса; в числе других вариантов, которые можно предложить для функции sin — выражения и множество других, хорошо известных знатокам тригонометрии, ориентирующихся в формулах по тригонометрии.
Искусство преобразований так или иначе помогает решению не только математических, но и самых разнообразных задач.
Вспомним хотя бы головоломку, где предлагается указать кратчайший путь от паука до мухи, сидящих в произвольных точках на противоположных стенах комнаты. Решение, по всей вероятности, известно вам: надо сделать развертку того параллелепипеда, который образуют стены, пол и потолок, и на ней соединить прямолинейным отрезком точки, в которых находятся муха и паук. Снова, как видите, нам служит подспорьем способность видеть предметы во всех вариантах, возникающих в результате всех возможных преобразований.
Кстати, в примере из тригонометрии был приведен фрагмент парадигмы синуса:
Как вы заметили, я дополнил совокупность известных вам выражений для этой тригонометрической функции двумя новыми, которые мы изучим в курсе высшей математики. И с какой бы новинкой мы ни знакомились по мере прохождения этого курса, мы будем стараться выявить все ее варианты — различные определения вводимого в употребление понятия, различные представления использованного алгебраического выражения, различные формулировки доказываемой теоремы.
Теперь задумаемся поглубже над целесообразностью подобного варьирования. В наших грамматических примерах оно позволяло делать фразы понятными, и это получалось тогда, когда грамматические формы слов соответствовали друг другу — только тогда слова соединялись в связную фразу.
По аналогии можно утверждать, что варьирование форм математических выражений служит их связыванию в стройную цепь математического рассуждения.
Кандидат физико-математических наук Ю. Пухначев.
С использованием материалов журнала «Наука и жизнь» № 5 1980 г.
